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Mathematik: Normalform in Scheitelpunktform umwandeln? - Die Lösung!

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Letztes Update am 22.10.2014, 13:56
Quadratische Gleichungen lassen sich auf viele Arten darstellen.
Unter anderen in der Normalform sowie in der Scheitelpunktform. Während wir bei der Normalform die Nullstellen ermitteln können, hilft und die Scheitelpunktform dabei, die Funktion zu zeichnen. Doch was, wenn nur die eine Form gegeben ist? Diese Anleitung zeigt dir, wie du von der Normalform, ganz einfach zur Scheitelpunktform und von dieser auf die Normalform kommen kannst.

Die Binomischen Formeln:

1. (a+b)² = a²+2ab+b²

2. (a-b)² = a²-2ab+b²

3. (a+b)·(a-b) = a²-b²

  • Die Scheitelpunktform heißt so, weil man aus dieser Form den Scheitelpunkt der Parabel ablesen kann.

                Beispiel: y=2(x-3)²-12. Hier ist der Scheitelpunkt (3/-12).

  • Die Scheitelpunktform lässt sich zudem aus einem Graphen ablesen.
  • Die Normalform wird meistens aufgestellt, wenn es sich um eine Textaufgabe handelt, aus welcher Informationen entnommen werden müssen.
  • Um aus der Normalform die Nullstellen zu ermitteln, kann man dies Selbst rechnen oder es einfach in den Taschenrechner eingeben.

  • Evtl. Taschenrechner

Von Normal- auf Scheitelpunktform.

  1. Zunächst musst du die Gleichung =0 setzen.
  2. Danach teilst du alle Zahlen durch die Zahl, welche vor dem x² steht.
  3. Nun musst du x auf die eine Seite und die Zahlen auf die andere Seite bringen.
  4. Jetzt addierst du beide Seiten durch die Hälfte der Zahl vor dem x, zum Quadrat.
  5. Mithilfe einer der binomischen Formeln fasst du den Term links zusammen. Die Aufgabe rechts wird aufgelöst.
  6. Jetzt musst du x und Zahl wieder auf eine Seite bringen.
  7. Da du am Anfang alles durch 2 geteilt hast, musst du nun alles wieder mal 2 nehmen.
  8. Jetzt noch die Gleichung =y setzen und voilà, du hast die Scheitelpunktform.

 

Aufgabe 1: y=2x²-12x+6

  1. y=2x²-12x+6 /=0
  2. 2x²-12x+6=0 /:2
  3. x²-6x+3=0 /-3
  4. x²-6x=-3 /+(-3)²
  5. x²-6x+(-3)²=-3+(-3)²
  6. (x-3)²=6 /-6
  7. (x-3)²-6=0 /·2
  8. 2(x-3)²-12=0 /=y
  9. y=2(x-3)²-12

 

Von Scheitelpunkt- auf Normalform.

  1. Setz zuerst die Gleichung =0
  2. Nun teilst du jede Zahl durch 2.
  3. Jetzt bringst du die Zahl hinter der Klammer nach rechts.
  4. Nun musst du links die Klammer mit einer der binomischen Formeln auflösen.
  5. Jetzt musst du auf beiden Seiten den Term welcher links in Klammern steht, abziehen.
  6. Jetzt rechnest du die Aufgabe rechts.
  7. Die Zahl rechts musst du nun nach links bringen.
  8. Da du am Anfang alles durch 2 geteilt hast, musst du nun alles wieder mal 2 nehmen.
  9. Zum Schluss die Gleichung noch =y setzen und du bist fertig!

 

Aufgabe 2: y=2(x-3)²-12

  1. y=2(x-3)²-12 /=0
  2. 2(x-3)²-12=0 /:2
  3. (x-3)²-6=0 /+6
  4. (x-3)²=6 /Klammer auflösen
  5. x²-6x+(-3)²=6 /-(-3)²
  6. x²-6x=6-(-3)²
  7. x²-6x=-3 /+3
  8. x²-6x+3=0 /·2
  9. 2x²-12x+6=0 /=y
  10. y=2x²-12x+6

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