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Matheproblem - Wie löse ich eine quadratische Gleichung?

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Letztes Update am 22.10.2014, 13:56
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung mit 3 Variablen a, b und c.
Dieser Typ Gleichung hat stets 2 Ergebnisse und lässt sich auf unterschiedliche Art lösen. Diese Anleitung zeigt dir, wie du sie mit der quadratischen Ergänzung, einer der einfachsten Möglichkeiten, lösen kannst.

Binomische Formeln:

1. (a+b)² = a²+2ab+b²

2. (a-b)² = a²+2ab-b²

3. (a+b)·(a-b) = a²-b²

  • Zum Lösen quadratischer Funktionen kannst du neben der unten erklärten Quadratischen Ergänzung, auch die p-q-Formel oder den Satz von Vieta nutzen.

  • Evtl. Taschenrechner

Wegbeschreibung:

  1. Zuerst 0 setzen.
  2. Nun musst du die Zahlen auf die eine Seite, x auf die andere bringen.
  3. Jetzt addierst du auf beiden Seiten, die Hälfte der Zahl mit dem x, zum Quadrat.
  4. Mithilfe einer der binomischen Formeln fasst du den Term links entsprechend der Formel zusammen und rechts, addierst du.
  5. Nun ziehst du auf beiden Seiten die Wurzel. Links musst du dafür lediglich die Klammer auflösen.
  6. Die Wurzel rechts kann sowohl positiv als auch negativ sein.
  7. Jetzt musst du um x aufzulösen, x, links alleine haben und die Zahl somit nach rechts bringen. Entweder durch Addition oder Subtraktion.
  8. Du musst einmal die positive Zahl rechts verwenden und einmal die negative.
  9. Die Kontrolle erhältst du, indem du jeweils die Zahl für x in die = 0 gesetzte Ausgangsaufgabe einsetzt. Das Ergebnis muss 0 ergeben.

Aufgabe 1: f(x) = x²-3x-4

  1. f(x) = x²-3x-4/ = 0
  2. x²-3x-4=0 /+4
  3. x²-3x=4 /+(-1,5)²
  4. x²-3x+(-1,5)²=4+(-1,5)² / II. Binomische Formel
  5. (x-1,5)²=6,25 / √
  6. x-1,5= ± 2,5 /+1,5
  7. x= 4      v      x= -1

Aufgabe 2: f(x)=2x²-16x-40

  1. Hier musst du am Anfang zusätzlich alle Zahlen durch 2 Teilen, damit das x² am Anfang allein steht. Ansonsten löst du die Aufgabe wie die Obere.
  2. f(x)=2x²-16x-40 /:2
  3. f(x)=x²-8x-20 /= 0
  4. x²-8x-20=0 /+20
  5. x²-8x=20 /+(-4)²
  6. x²-8x+(-4)²=20+(-4)² / II.Binomische Formel
  7. (x-4)²=36 / √
  8. x-4 = ± 6 /+4
  9. x= 10    v    x= -2

Aufgabe 3: f(x)=x²+4x-5

  1. f(x)=x²+4x-5 / = 0
  2. x²+4x-5=0 / +5
  3. x²+4x=5 / +2²
  4. x²+4x+2²=5+2² / I. Binomische Formel
  5. (x+2)²=9 / √
  6. x+2 = ± 3 /-2
  7. x= 1    v    x= -5

Aufgabe 4: f(x)=x²-3x-28

  1. f(x)=x²-3x-28 /=0
  2. x²-3x-28=0 /+28
  3. x²-3x=28 /+(-1,5)²
  4. x²-3x+(-1,5)²=28+(-1,5)² / II.Binomische Formel
  5. (x-1,5)²= 30,25 / √
  6. x-1,5 = ± 5,5 /+1,5
  7. x= 7    v    x= -4

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