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Was ist die Kettenregel? - Erklärung

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Letztes Update am 22.10.2014, 14:22
Um dies etwas genauer zu verdeutlichen, haben wir einige Beispielaufgaben.

Die Kettenregel bezeichnet in der Mathematik eine Ableitungsregel in der Differenzialrechnung. Dabei werden 2 Funktionen durch Verkettung (Kettenregel) zu einer neuen Funktion abgeleitet, welche wiederum abgeleitet werden kann. Um dies etwas genauer zu verdeutlichen, haben wir einige Beispielaufgaben.

  • Die Kettenregel muss immer dann angewendet, wenn eine Verkettung von 2 Funktionen vorliegt.
  • Entweder eine e-Funktion mit einer Weiteren, eine Winkelfunktion (z.b. sin(x) oder cos(x) oder einfach wenn 2 separate Funktionsterme, wie unten in Aufgabe 2 miteinander verbunden ist.
  • Dies ist auch der Fall, wenn es sich um eine Funktion und einen zusätzlichen Exponenten handelt.

  • Eventuell Taschenrechner

Hilfreiche Hinweise

Beispielaufgabe Nr. 1 - Ableitung der e-Funktion

  1. f(x) = e^3x+8
  2. Zunächst müssen wir diese Funktion aufteilen, in eine äußere und in eine innere Funktion.
  3. Äußere Funktion: u(v) --> e^3x+8
  4. Innere Funktion:  v(x) --> 3x+8
  5. Nun bilden wir von beiden Funktionen jeweils die Ableitung.
  6. Äußere Funktionsableitung: u'(v) --> e^3x+8  (Die e-Funktion verändert sich nie, wenn sie abgeleitet wird).
  7. Innere Funktionsableitung:  v'(x) -->3             (Abgeleitet wird immer bis zum x).
  8. Nun haben wir eine allgemeine Kettenregel-Formel: f'(x) = u'(v(x))v'(x).
  9. Erklärung: Die äußere Funktionsableitung: u'(v) mal die innere Funktion: v(x) mal die innere Funktionsableitung: v'(x).
  10. f'(x) = e^3x+8 * 3

Beispielaufgabe Nr. 2 - Ableitung einer quadratischen Funktion

  1. f(x) = (x²+1)³
  2. Aufteilen der Funktion in eine äußere und innere Funktion:
  3. Äußere Funktion: u(v) = v³
  4. Innere Funktion:  v(x) = x² + 1
  5. Ableitung von beiden Funktionen bilden:
  6. Äußere Ableitungsfunktion: u'(v) = 3v²      (Man leitet ab, indem man den Exponenten nach vorne nimmt und diesen am Ende verringert)
  7. Innere Ableitungsfunktion:  v'(x) = 2x       (Zunächst Exponenten nach vorne nehmen und den Rest bis x zum weglassen, da zu Beginn nur x²).
  8. Kettenregel aufstellen: f'(x) = 3(x²+1) * 2x  (Äußere Funktionsableitung mal innere Funktion mal innere Funktionsableitung).

Beispielaufgaben Nr. 3 - Ableitung mit Wurzelfunktion

  1. f(x) = √3x^4+1/x²
  2. Zum leichteren Rechnen wird die Wurzelfunktion zunächst in eine normale Funktion umgewandelt.
  3. f(x) = (3x^4+x^-2)^1/2
  4. Nun erfolgt das Aufteilen der Funktion in 2 Unterfunktionen:
  5. Äußere Funktion: u(v) = v^1/2
  6. Innere Funktion:  v(x) = 3x^4+x^-2
  7. Jetzt werden jeweils die äußere und innere Funktion abgeleitet.
  8. Äußere Funktionsableitung: u'(v) = 1/2v^-1/2      (Bei 1/2 bleibt Exponent wird dieser nach dem er nach vorne geholt wurde, zusätzlich negativ bestehen).
  9. Umgewandelt wieder als Wurzelfunktion: 1/2√v
  10. Innere Funktionsableitung:  v'(x) = 12x³-2x^-3
  11. Nun wird die Kettenregel aufgestellt: f'(x) = 1/2√3x^4+x^-2 * (12x³-2x^-3)
  12. Jetzt wird die Funktion noch in eine etwas kompaktere Wurzelfunktion gebracht:
  13. f'(x) = 12x³-2/x³ / 2√3x^4+1/x²

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